用微积分来求截头锥体（附带截头锥体的图片）的体积公式

Question

用微积分来求截头锥体的体积公式（高用h表示，底边用a表示，上面的边用b来表示）。图片就是个截头锥体，上面下面都是正方形，问题就是用微积分来求这个物体的体积公式。要用微积分哦。过程最好详细一点。

Answer 1

为了计算方便，底边A=2a，上面的边B=2b

倾角α=arctan[(a-b)/h]

截面积=[2xtan(α)]²   x为棱锥的高

棱锥的体积=∫(0,h)[2xtan(α)]²dx

∴截头棱台的体积=∫(h₁,h₂)[2xtan(α)]²dx  其中h₂-h₁=h

h₁=½b/tanα=bh/2(a-b) 

h₂=½a/tanα=ah/2(a-b) 


V=4·tan²(α)·⅓x³|(h₁,h₂)

=4·[(a-b)/h]²·⅓x³|(h₁³,h₂³)

=4·[(a-b)/h]²·⅓(h₂-h₁)(h₂²+h₁h₂+h₁²)

=4·⅓[(a-b)/h]²·h·[(ah)²+abh²+(bh)²]/(a-b)²

=4·⅓[a²+ab+b²]h

=⅓[(2a)²+2a·2b+(2b)²]h

即截头棱台的体积=⅓[A²+A·B+B²]·h=⅓(S+√Ss+s)·h

追问

虽然有些深奥。不过还是谢啦。

追答

本公式只适用于圆台以及截头棱台的体积计算，台体普遍适用的公式为：
V=⅙h(2A·B+Ab+aB+2ab),本公式计算的结果≥⅓h哪个，当且当棱台为截头棱台时，等号成立。

Answer 2

假设被截去的四棱锥高为m，由相似原理知m/(m+h)=(√2b/2)/(√2a/2)=b/a，所以h/m=a/b-1，m=bh/(a-b)。则以平行于上下底面的平面截这个截头锥体，当这个截面距离上底的距离为y时，则截面边长为x，有m/(m+y)=a/x，即x=a(1+y/m)=a+a(a-b)y/(bh)，截面积为s=x^2=a^2+2a^2(a-b)y/(bh)+a^2(a-b)^2y^2/(bh)^2，所以微积单元dV=sdy，所以体积为
V=∫dV，积分区间[0，h]。所以得
V=a^2h+a^2(a-b)h/b+a^2(a-b)^2h/(3b^2)
=[3b^2+3(a-b)b+(a-b)^2]ha^2/(3b^2)
=(a^2+ab+b^2)ha^2/(3b^2)