设向量a b c 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a+b与c共线，b+c与a共线，证a+b

Question

设向量a b c 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但a+b与c共线，b+c与a共线，证a+b+c=0

Answer 1

因为A＋B与C共线,则存在实数x使A＋B=xC,
同理因为B+C与A共线,存在实数y使B+C=yA,
将第二个式子变成：B=-C+yA代入第一个式子得：A-C+yA=xC,
整理得(1+y)A-(1+x)C=0向量,则于A、C均为非零向量,且不共线,
则由平面向量基本定理或向量共线充要条件可得：1+y=0,1+x=0,所以x=y=-1,
所以A＋B=xC=-C,所以A+B+C=0.