已知定义在（-∞，+∞）上函数y=f（x）是奇函数。求证：f（0）=0

Question

已知定义在（-∞，+∞）上函数y=f（x）是奇函数。求证：f（0）=0.
若f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，判断f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内函数值的正负，并证明你的结论

Answer 1

证明：
∵y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上奇函数
∴f(-0)=-f(0)
∴f(0)+f(0)=0
∴f(0)=0

f（x）在R上是减函数，
f（x）
在（-∞，0）内函数值为正
在（0，+∞）内函数值为负
证明：
设x1<0<x2
∵f（x）在R上是减函数
∴f(x1)>f(0)>f(x2)
即f(x1)>0>f(x2)
∴f(x1)>0,f(x2)<0 得证！

Answer 2

1）y=f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即2f(0)=0,即：f（0）=0.

2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（-∞，0）上f（x）>f(0)=0
（0，+∞）上，f（x）<f(0)=0

Answer 3

函数是奇函数
则f(-x)=-f(x)
则，f(-0)=-f(0)
则f（0）=0
(2)
由f(0)=0
f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
则f（x）在（-∞，0）上递减
所以f （x)>f(0)=0
且f(x)在（0，+∞）递减：
则f（x）<f(0)=0
即f（x）在（-∞，0）内的函数值为正；
f（x）在（0，+∞ ）内的函数值为负

Answer 4

设 x1 , x2 且 x1 > x2
因为f(x)为减函数
则f(x1)<f(x2)
再设x3 , x4 且x3>0 x4<0
则f(x3)<f(0)=0
f(x4)>f(0)=0
所以
f(x)在（-∞，0）大于0
在（0，+∞）小于0