1.求高阶导数是泰勒公式,或者幂级数的一个主要应用。 主要是利用表达式的唯一性。
2. 一方面,由定义,f(x)=arctanx 的麦克老林公式中,x^n的系数是:f(n)(0) / n!,f(n)(0)表示在x=0处的n阶导数。 另一方面,f ' (x)=1/(1+x^2)=∑(-1)^n×x^(2n),
3.所以,f(x)=∑(-1)^n×x^(2n+1)/ (2n+1) 比较两个表达式中x^n的系数,得: 当n为偶数时,f(x)在x=0处的n阶导数是0; 当n为奇数时,设n=2m+1,f(x)在x=0处的n阶导数是:(-1)^m× (2m)! 比较两个式子,就可以求出 f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值。
4.具体的用级数求函数的高阶导数,过程见上图。