线性无关的向量不一定正交，但其坐标向量一定正交，为什么？

Question

a1,a2,……an是线性空间的一个基，则a1的坐标是（1,0，……），a2的坐标是（0,1，……），……an的坐标是（0，……1），它们的坐标是正交向量，可a1,a2,……an不一定正交呀？

（1 1 1）（1 1 4）（1 2 3）是三个线性无关的向量，组成三维空间的一个基，它们不正交，但它们的坐标正交。为什么？

Answer 1

用三维欧式空间举例，其坐标向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是正交的，同样也是线性无关的，但线性无关的向量就不一定正交了，例如(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)是线性无关的，它也构成三维欧式空间的一组基底（不是坐标基底），但它们不是正交的。追问

那正交归一化还有什么意义？我只要把线性无关向量作为坐标向量的基底，自然就正交了。
我不能很清楚表达我的疑惑，这样不是所有线性无关的向量都是正交向量了吗？

追答

我猜你是不是认为基底必须是正交的，不是这样的，基底有坐标基底和非坐标基底之分，坐标基底一定正交，非坐标基底可能正交也可能不正交。