亚纯函数举例说明

Question

如题所述

Answer 1

在复平面上，亚纯函数是一个重要的数学概念。其中一个典型的例子是有理函数，它是由两个多项式相除构成的，其中商函数Q(z)的零点对应于除数R(z)的极点。这种函数的特点是R(z)的极点数量是有限的，包括可能的∞点，它要么是极点，要么是可去奇点。

另一方面，那些不是有理函数的亚纯函数被称为超越亚纯函数。例如，ctg(z)就是一个经典的超越亚纯函数，它的极点集合是所有整数倍的π，且这类函数必然具有无限多个极点。这与有理函数形成鲜明对比，后者可以被分解为部分分式的形式，即每个有理函数可以表示为一系列极点对应的多项式的乘积，其中每个极点对应的多项式Pk(u)和极点的阶数（当∞点为m阶极点时，P0(z)是一个m阶多项式）共同决定了函数的结构。