数学归纳法，这一强大的工具，是如何揭示数列有界性的神秘面纱呢？</当我们在处理数列问题时，一个关键的步骤是理解有界性的概念。想象一下，如果数列的值不能被一个上界或下界所限制，那么诸如 的表达式就失去了其原有的意义，就像试图在无边无际的海洋中寻找一个确定的坐标点。让我们一步步深入，看看如何运用归纳法来证明这一重要性质。
首先，我们要确认单调性</。由于我们讨论的是一个单调递增的数列，这意味着每个后续的项都大于或等于前一个。这是因为函数 是一个明确的单调递增函数，每一项的增长都遵循这个规律，为有界性提供了一个初步的支撑。
接下来，我们进入关键的证明环节</。假设我们已经知道当 n=k 时，数列的值满足某个界限，即 。我们的目标是证明，当 n=k+1 时，这个界限仍然适用。
当 n=k+1 时，我们有
假设</：an ≤ M （M 为上界）对于</ n=k 成立</
根据递推关系，我们可以得出:
推理</: ak+1 = ak + f(ak)
由于 f(ak) 是单调递增的，我们可以得出:
结论</: ak+1 ≤ ak + f(M)
既然 ak 本身已经在 M 之下，那么 ak+1 也必定在这个界限内。因此，我们证明了当 n=k+1 时，数列依然保持有界。
通过这样的归纳法，我们逐步揭示了数列有界性的严谨证明，每一次递推都为我们的结论提供了坚实的支撑。这不仅展示了数学归纳法的威力，也让我们对数列的性质有了更深的理解。