二元函数偏导数存在和连续的关系

Question

如题所述

Answer 1

二元函数偏导数存在和连续的关系：偏导数存在但不一定连续，两者之间没有必然联系，具体原因如下：

1、从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个变量固定，而将二元函数看成另一个变量的一元函数的导数．因此求二元函数的偏导数，不需要引进新的方法，需用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行求导即可。

2、偏导和连续是两个概念，误解往往来自一元的可导必连续，从纯数学角度来看，偏导是定值增量极限，即，规定点集下的函数因变量增量极限，而连续是特定点值的趋近情况。显然，两者的域是不同的，从函数的观点看，既然取值的域不同，那么它们就没有什么必然的关系。仅仅特例是，在一元情况下，规定点集和特定点值都是一元自变量。

在一元的情况下，可导一定连续，反之不一定。二元就不满足了在二元的情况下，偏导数存在且连续，函数可微，函数连续；偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。函数可微，偏导数存在，函数连续；函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微；函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示