一个函数奇偶性和周期性的问题

Question

对函数f(x)在（-∞，+∞）上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)求函数f(x)=0在[-2005，2005]上的根的个数

Answer 1

1.
把5-x带入f(2-x)=f(2+x)得：f(-3+x)=f(7-x)

则f(-3+x)=f(7+x)

代x+3:f(x)=f(x+10),所以f(x)的周期是10.

若f(x)是奇函数，则f(-1)=-f(1)=0

f(-1)关于x=2对称的是f(5),则f(5)=0,与题目矛盾，所以不是奇函数。

若是偶函数，同理得f(-1)=f(1)=0,同样矛盾，

所以f(x)不是奇函数，也不是偶函数。

2.在[0,10]内，已有x=1，x=3两个零点，若在[7,10]内由零点，根据f(x)关于

x=7对称，则在[4,7]内也有零点，因此不可能，所以在[0,10]仅有2个零点。

有周期性知，在[-2000,2000]中有400*2=800个，另外，x=2001，2003，也是零

点，因此共有802个