高数导数题，求大神解答，谢谢？

Question

如题所述

Answer 1

首先给出此题的答案是：函数f(x)在x=0处连续且可导；
讨论如下：
按定义，判断函数在点x0是否连续和可导，只需判断f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；且判断f‘(x0-)是否=f'(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处连续且可导。
因为题意的函数：f(x)=(1-cosx)/√x, x>0; f(x)=(x^2)g(x), x≤0 且给g(x)是有界函数，则
f(0+) = lim (1-cosx)/√x =0; f(0-) = f(0)= lim (x^2)g(x)=0; 即f(x)连续；
f'(0+) = lim (1 - cosx + xsinx)/(x√x) =0; f'(0+) = lim[2xg(x) + (x^2)g'(x)] =0 (因为g(x)有界，则g'(x)也为有界）
所以得结论 f(x)在x=0处连续且可导。