偶函数的原函数一定是奇函数吗？不一定的话，求举例、

Question

如题所述

Answer 1

若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个.即f(x)的任意一个原函数加上任意一个常数，仍然为f(x)的原函数。

所以连续偶函数的原函数，例如x^2的原函数是1/3*x*3+c

(c是任意常数)，只有当c为0时，才是奇函数。所以连续偶函数的原函数不一定是奇函数。

注意：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。

1727年，  年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念。

若用-x代替x,函数保持不变，则称这样的函数为偶函数(拉丁文functionespares)。欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇偶函数的性质。

法国 数学家达朗贝 尔(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德罗(D.Diderot,1713-1784)主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说 是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数。

”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”，后来，其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰· 伯努利最早采用了后一涵义。

在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言。

欧拉提出的“ 奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数， 指数为奇数的幂函数为奇函数。

Answer 2

若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个.即f(x)的任意一个原函数加上任意一个常数，仍然为f(x)的原函数。
所以连续偶函数的原函数，例如x^2的原函数是1/3*x*3
+
c
(c是任意常数)，只有当c为0时，才是奇函数。所以连续偶函数的原函数不一定是奇函数。