线性代数的判断题

Question

如题所述

Answer 1

你只能写出三个两两正交的三维列向量出来，联想一下三维平面中两两垂直的向量（最简单的想法就是X,Y,Z轴），是不是只有三个？第四个如果还跟他们两两正交，那必然是（0,0,0），这是从几何意义上理解。
如果从代数的方面求解，你可以假设第四个向量为（a,b,c），假设前三个向量都不是0向量，最简单的设法就是α1=（d,0,0），α2=（0,e,0），α3=（0,0,f），这种例子不失一般性，四个向量两两正交也就是四个向量任意两个的内积都是0，你算内积就得了，ad=0，be=0，cf=0，而d，e，f又都不等于0，那只可能a,b,c都是0，不可能有别的数。

Answer 2

你可以反证啊！假设都是非零向量，但是又是三维空间的。三维空间你去画图，也只能够画出三个互相垂直的坐标轴啊！毕竟列向量和行向量本身可以代表一组基底。如果前三个列向量或者行向量互相正交。第四个怎么样都可以用前三个来表示吧！你也可以用最笨的方法，把前面三个向量的x,y,z坐标都设出来，然后用第四个的坐标分别取乘前三个的坐标。也就是点乘咯。高中学过的。看看这种假设的情况能不能成立。