高数同济版间断点的练习题。

Question

第4题。想知道x=0时是不是间断点。直接代入，算得f(0)=0。如果求x=0时极限，那分子就是1－无穷小的无穷大次方，没办法算;但是答案就将x∧2n看成一个幂函数，当0＜x＜1时，n无穷大，值就是趋近0。这矛盾了，该怎么解释这个矛盾？0又是不是间断点？恳请各位解答。

Answer 1

解：4、原式=lim(n→∞）{2-[x^(2n)+1]}/[1+x^(2n)]=lim(n→∞）2/[1+x^(2n)]-1；

显然，这不是一个的连续函数。当x=1时，f(1)=0, 当x<1时，f(x)=1; 当x>1时，x=-1。

当x→1+0时，函数有间断点。这种间断点是跳跃间断点，属于第二类间断点。是不可去间断点。

同理，当x→-1-0时，也是不可去间断点。此函数有两个不可去间断点。

本函数等价于：f(x)=1（-1<=x<=1时) ，-1（x<-1）和（x>1时）；本函数分三段连续。见下图：黑色线为函数曲线。

追问

x→1+0是什么

追答

答相当于1+0(x), 1+一个无穷小，1-0就是1-一个无穷小。

Answer 2

计算极限可得
当|x|<1时，f（x）=x,
当|x|>1时，f（x）=-x,
f（1）=f（-1）=0.
由此可见，
lim｛x->1｝f（x）=1
不等于f（1）
lim｛x->-1｝f（x）=-1
不等于f（-1）.
所以，这个函数的间断点是x=1和x=-1,其它地方都是初等函数，都连续。追问

x=0呢

追答

x=0包含在|x|<1里了，|x|<1时，f（x）=x,所以 f（0）=0。

Answer 3

0^∞不是不定式，0^∞=0; 因此不存在你说的矛盾。
不定式共有七种，它们是：0/0，∞/∞，0•∞，∞^0，1^∞，0^0，∞-∞；追问

x趋近于0时，那不是无穷小吗

追答

无穷多个无穷小相加，不一定还是无穷小；
但无穷多个无穷小相乘一定还是无穷小，其极
限就是0; 0^∞就是无穷多个无穷小相乘=0。

追问

x趋近于0，求极限。你算0∧无穷是直接当做连续函数，代入了，

可是你还没确定x=0是不是连续

追答

该函数在x=0处有定义，有极限，且极限等于定义，那当然就连续了。

Answer 4

一般找分段函数的分界点，按照间断点的定义判断类型，针对本题来说，在X=0处有定义，左极限等于0，右极限等于e，即极限不存在。所以X=0为函数的跳跃间断点。追问

怎么算的？

说的什么瘠薄？