已知圆C过点A（1，1）和B(2,-2),圆心C在直线l:x-y+5=0上，求圆C的方程。在解答中为何圆心在AB的中垂线上？

Question

如题所述

Answer 1

∵圆心C在直线x-y+1=0上
∴可设圆心C(t,t+1)
∵A,B在圆C上
∴|CA|=|CB|=R
∴（t-1)²+t²=(t-2)²+(t+3)²=R²
解得：t=-3,
R=5
∴圆心C(-3,-2),半径R=5
∴圆C的标准方程为
(x+3)²+(y+2)²=25
圆心C到直线X-Y+5=0的距离d=|-3+2+5|/根号2=4/根号2=2根号2<5,故直线与圆相交.
那么PQ的最小值=0,(当PQ重合时取得)

Answer 2

圆心到A,B的距离相等，
所以
圆心在AB的中垂线上

Answer 3

好好看看书！
中垂线定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等。
逆定理：
到线段两端距离相等的点，在
线段的垂直平分线上。
点A和B在圆上，到圆心的距离都等于半径，所以圆心在AB的中垂线上。
解：由A、B两点坐标可得直线AB的方程：y
＝－3x＋4

AB中垂线斜率k＝1／3，AB中点（3／2，－1／2）

可得AB中垂线
方程：x
－3y－3＝0...①

①与l方程x－y＋5＝0联立，解得交点坐标既是圆心C的坐标（－9，－4
）

R
＝AC＝5√5

∴
圆C的方程是
﹙x＋9

﹚²＋
﹙y
＋4
﹚²
＝125