有界函数的定义

Question

如题所述

Answer 1

有界函数的定义如下：

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D满足m≤f(x)≤M,x∈D，则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。函数的有界性是数学术语。设函数f(x)的定义域为D，f（x）在集合D上有定义。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

相关概念如下：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有：ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2,...)是有界的，如果存在一个数M>0，使得对于所有的自然数n。