高数问题

Question

第一题：(-1)的n次方乘以n的阶层等于(-n)的阶层吗？
第二题：极值点一定是拐点吗？
第三题： 我画了几个函数的反函数，比如正切，正弦。发现其反函数图像是将其本身函数的图像旋转90度（顺逆时针旋转都可）再镜像，（以顺时针为例）再将其y轴变为x轴，-x轴变为y轴。就可以得到其反函数图像。是不是说有的反函数图像都可以这样画出？

Answer 1

让我来给你总结下吧！
第一题：阶乘这两个字应该这样写。只有非负数才有阶乘。一般来说，定义一种新运算是为了某种需要，但到现在还没有什么数学的分支学科需要定义负数的阶乘，因此现在还没有这种算法，也不需要这种算法。因此，可以说负数不存在阶乘。也就是说你上面说的等式也就不成立了！
第二题：函数在f(x0)点取得极值点的必要条件是，f(x0)的倒数存在且等于0，或那点倒数不存在。而其充分条件是那点的倒数存在且左右领域倒数异号。而函数f(x0)点取得拐点的必要条件是，f(x0)的二阶导数等于0，或f(x0)的二阶导数不存在。因此，极值点也就不一定是拐点！
第三题：可以这样画出！以为原函数与其反函数关于Y=X对称。你可以画一条Y=X。用描点法将其对应图像大致画出。但是没有你那样方法出来的图像更为准确！

Answer 2

第一题：(-1)的n次方乘以n的阶层等于(-n)的阶层吗？
前者=(-1)^n*n!
后者=（-n）！
当n为奇数的时候，前者为-1的奇数次方为负数，后者是奇数个负数连乘，也为负数，所以此时相等；
当n为偶数的时候，前者为-1的偶数次方为正数，后者是偶数个负数连乘，为正数，所以此时也相等。
所以应该是相等的。

第二题：极值点一定是拐点吗？
极值点处切线的斜率为0，导数为0，是为驻点，故极值点为驻点。函数的拐点是函数在凸、凹转换的点，此处不一定导数为0，所以不是极值点，因此极值点不是拐点。

第三题： 我画了几个函数的反函数，比如正切，正弦。发现其反函数图像是将其本身函数的图像旋转90度（顺逆时针旋转都可）再镜像，（以顺时针为例）再将其y轴变为x轴，-x轴变为y轴。就可以得到其反函数图像。是不是说有的反函数图像都可以这样画出？
基本可以按照你说的理解，不过你也弄复杂了一些。
举个例子点（0，2）在y轴上，（2,0）在x轴上，这两个点就是关于y=x对称，也可以说是旋转90度得到的。
再举函数例子，y=log2x和y=2^x,二者是反函数，在前者函数上取任意一个点，如（2,1），后者取（1,2）也是关于y=x对称，x，y交换，也可以说是旋转90度得到的，所以已知一个原函数，要画其反函数图像，就可以在原函数上取几个点，找到关于y=x的对称点连接就可以得到反函数图像，或者把原函数旋转90度，也可以得到反函数。

Answer 3

第一：首先纠正一下啊，是“阶乘”，不是“阶层”。其中（－n）!=1／（n+1）！，你看， 一个正负交替，一个恒正，不相等的。不过n等于0时，相等。高数很少涉及负数的阶乘，普通计算器也是无法计算负数，小数的阶乘的，不掌握也罢，我很好奇你在哪儿看的这个题。
第二：拐点是该点左右邻域，二阶导数异号的点，跟极值点没有多大关系。你应该弄明白零点，驻点，拐点的含义及判别方式，具体看一下高等数学一元函数微分学的相关章节。
第三，你的理解是对的，这种做法画出来的图也对，不过，有点…呵呵。图形嘛，特别是一些基本初等函数的图形，一定要做到胸有成竹，随手画出。实在不行，也要知道大致轮廓，找两个点一描，就出来了。说实在的，这可是初等数学的问题，具体看一下高中数学函数相关章节吧。
行了，就这么多吧，高数的学习，一定要吃透课本概念，这就已经很了不起了。千万不要像那个传言：大学里有棵树，叫高数，很多人都挂在上面！呵呵…努力！

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

Answer 4

第一题：(-1)的n次方乘以n的阶层等于(-n)的阶层吗？
前者=(-1)^n*n!
后者=（-n）！
当n为奇数的时候，前者为-1的奇数次方为负数，后者是奇数个负数连乘，也为负数，所以此时相等；
当n为偶数的时候，前者为-1的偶数次方为正数，后者是偶数个负数连乘，为正数，所以此时也相等。
所以应该是相等的。

第二题：极值点一定是拐点吗？
第三题： 我画了几个函数的反函数，比如正切，正弦。发现其反函数图像是将其本身函数的图像旋转90度（顺逆时针旋转都可）再镜像，（以顺时针为例）再将其y轴变为x轴，-x轴变为y轴。就可以得到其反函数图像。是不是说有的反函数图像都可以这样画出？

Answer 5

回答的人要么没回答第二题， 要么解释的不对（楼主是问极值点是否一定是拐点，不是问拐点是否一定是极值点）其他问题也可以有简洁的回答

第一题：(-n)的阶乘是没有定义的，而(-1)的n次方乘以n的阶乘有定义，所以他们不一样。

第二题：极值点 不一定是 拐点。
例子：函数 y=x^2 在x=0处取极小值，但函数一直是凸的，所以没有拐点。

注：在一定的条件下，还能证明
极值点 一定不是 拐点。
假设f二阶可导，且在x0处取得极大值，则 f'(x0)=0, 所以
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(m)(x-x0)^2 /2
=f(x0) + f''(m)(x-x0)^2 /2 其中 m 是在x,x0之间的某数。
由于f(x0)是极大值，所以当x接近x0时，无论从左接近，还是从右接近，都必须有f''(m)<=0 （否则f''(m)(x-x0)^2/2将大于零，导致f(x)>f(x0)) 所以f(x)在x0两边都不是凸函数。

第三题：正确。因为如果f,g互为反函数，则
y=f(x) 等价于 g(y)=x
也就是说函数与反函数的图像，只不过是把(x,y)变成了(y,x)而已，所以有你观察到的效果。