泰勒中值定理，在求误差Rn(x)时，为什么用Rn(x)/(x-x0)^(n+1),来进行推导，图中

Question

泰勒中值定理，在求误差Rn(x)时，为什么用Rn(x)/(x-x0)^(n+1),来进行推导，图中证明是逆推，想知道为什么这样来表达，谢谢

Answer 1

因为(x-x0)^(n+1)在x0处从一阶导数到n阶导数都是0啊，所以每次用中值定理分母都是一项，而且形式上可以写成减去在x0处的第i阶导数，就又符合中值定理的形式，可以继续用中值定理直到得出所要的结果，这个构造是从结果出发来构造的。其实很多时候都要从题目的目的出发构造能解决问题的“工具”，只是这个构造确实很巧妙。追问

从结果出发来构造的是什么意思，Rn可以表示成(X-X0)^(n+1)也就是说误差是与 (X-X0)^(n+1)有关的一个式子，这是为什么？

追答

从结果出发构造其实就是一种逆向思维吧，先搞明白要证什么，然后想着怎样去联系条件，结论和条件之间总要通过某种方式沟通起来吧。这样说着很抽象，但高数题很多是这样，特别是一些定理的证明。然后你说的那个误差，就是误差和(X-X0)^(n+1)的一种比较关系，是同一个量级的数。