设fx gx在ab上连续,在ab内二阶可导且存在相等的最大值

Question

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ ₁ ∈（a，c），ξ ₂ ∈（c，b），
使得F′（ξ ₁ ）=F′（ξ ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ ₁ ，ξ ₂ ），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c ₁ ，c ₂ 取得最大值，
则f（c ₁ ）=g（c ₂ ）=M，
于是F（c ₁ ）=f（c ₁ ）-g（c ₁ ）＞0，F（c ₂ ）=f（c ₂ ）-g（c ₂ ）＜0，
于是由零值定理可得，存在c ₃ ∈（c ₁ ，c ₂ ），使得F（c ₃ ）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ ₁ ∈（a，c ₃ ），ξ ₂ ∈（c ₃ ，b），使得F′（ξ ₁ ）=F′（ξ ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ ₁ ，ξ ₂ ），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．