为什么正多边形必有内切圆，求其外接圆公式？

Question

如题所述

Answer 1

三角形内切圆半径公式：r=2S/(a+b+c）。

推导：设内切圆半径为r，圆心O，连接OA、OB、OC，得到三个三角形OAB、OBC、OAC。

那么，这三个三角形的边AB、BC、AC上的高均为内切圆半径r。

所以：S=S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC

=(1/2)AB*r+(1/2)BC*r+(1/2)*AC*r

=(1/2)(AB+BC+AC)*r

=(1/2)(a+b+c)*r

所以，r=2S/(a+b+c)。

三角形内切圆性质

（1）在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

（2）正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。

（3）常见辅助线：过圆心作垂直。