1/n是发散的证明过程如下:
∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……,当n→∞时,m→∞,1+m/2→∞发散。∴级数∑1/n发散。
将数列un的项u1,u2,…,un,依次用加号连接起来的函数,是数项级数的简称。如u1+u2+…+un+…,简写为∑un,un称为级数的通项,记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时,数列Sn有极限S,则说级数收敛,并以S为其和,记为∑un=S;否则就说级数发散。
级数
级数是研究函数的一个重要工具,在理论上和实际应用中都处于重要地位,一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数,从而借助级数去研究函数,例如用幂级数研究非初等函数,以及进行近似计算等。
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知,级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。
因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则:∑un收敛<=>任意给定正数ε,必有自然数N,当n>N,对一切自然数p,有|u+u+…+u|<ε,即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。