证明数列收敛的八种方法如下：
1、定义法
如果数列满足条件：对于任意正整数n，数列的第n项与第n+1项之差的绝对值小于正无穷小，那么这个数列就是收敛的。
2、极限法
数列满足条件：对于任意正整数n，数列的第n项与第n+1项之差的绝对值小于正无穷小，那么这个数列就是收敛的。
3、单调有界法
如果数列满足条件：数列单调递减且有上界，那么这个数列就是收敛的。
4、Cauchy准则法
数列满足条件：对于任意正整数n和m，当n趋于无穷大时，数列的第n项与第m项之差的绝对值小于正无穷小，那么这个数列就是收敛的。
5、Abel定理法
如果数列满足条件：可以写成一个无穷级数的形式，且级数的各项系数都为正数，那么这个级数收敛。
6、Dirichlet定理法
数列满足条件：可以写成一个无穷级数的形式，且级数的各项系数都为正数，那么这个级数收敛。
7、Weierstrass定理法
数列满足条件：可以写成一个无穷级数的形式，且级数的各项系数都为正数，那么这个级数收敛。
8、反证法
如果数列不收敛，那么至少有一个极限点不是这个数列的极限，由此可以得出矛盾。
数学中的数列
1、数列的定义
数列是一种特殊的序列，按照一定的规律排列，每个数都有其特定的位置。数列可以由不同的数字组成，也可以是连续的自然数。数列的概念广泛应用于数学、物理、经济领域。
2、数列的分类
数列有多种分类方法，按照项数的有限或无限可分为有穷数列和无穷数列。
有穷数列是指项数是有限个数的数列，1、2、3、4、5等。无穷数列是指项数是无限个数的数列，1、2、3、4、5...等。
数列还可以按照各项是否为正整数分为正整数列和一般数列，正整数列是指各项都是正整数的数列，一般数列是指各项可以是任意实数的数列。
3、数列的表示
数列的表示方法是将各个数字按顺序排列在一行内，并用逗号隔开。1、2、3、4、5是一个简单的数列，可以用字母表示为a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5。对于无穷数列，可以用小写字母a1, a2, a3,...来表示各项。