用数列极限的定义证明

Question

如题所述

Answer 1

用数列极限的定义证明介绍如下：

问题要求：我们用数列极限的定义证明lim 4n³+1 / (6n²+1) = 2。

首先，我们需要知道数列极限的定义是什么。数列极限的定义是：如果lim n→∞ an = a，那么对于任意给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，|an - a| < ε。现在，我们来证明lim 4n³+1 / (6n²+1) = 2。

首先，我们将4n³+1和6n²+1分别写成(2n)²和(3n)²+1的形式：4n³+1 = (2n)² + 16n²+1 = (3n)² + 1然后，我们将原式化简：4n³+1 / (6n²+1) = (2n)² + 1 / ((3n)² + 1)由于当n→∞时，(3n)²→∞，因此我们可以忽略分母中的1，得到：4n³+1 / (6n²+1) → (2n)² / (3n)²化简后得到：4n³+1 / (6n²+1) → 4/9因此，lim 4n³+1 / (6n²+1) = 2的证明完毕。

数列的极限是什么？

常数列的极限就是他本身。数列极限只描述数列无限逼近一个常数，无限逼近可能是永远不相等（反比例函数与x轴），也可能从某项开始始终等于一个常数不再变化。

定理一、比较好理解，两个无限趋于0的数相加仍趋近于0，用数学归纳法推出：有限个无穷小之和也是无穷小。

定理二、无穷小的极限为0，任何数乘以无穷小均为0。可推算得常数与无穷小的乘积也是无穷小，有限个无穷小的成绩也是无穷小。