二重积分的对称性定理主要有两种：奇偶性对称和轮换对称性。
奇偶性对称是指，如果函数f(x,y)关于原点对称，即f(-x,-y) = f(x,y)，那么其在整个平面区域D上的二重积分等于在D的x≥0，y≥0部分上积分的4倍。如果函数关于x轴对称，即f(-x,y) = f(x,y)，那么其在整个平面区域D上的二重积分等于在D的y≥0部分上积分的2倍。同理，如果函数关于y轴对称，即f(x,-y) = f(x,y)，那么其在整个平面区域D上的二重积分等于在D的x≥0部分上积分的2倍。
轮换对称性是指，如果函数f(x,y)满足条件f(y,x) = f(x,y)，那么在D上的二重积分等于在D关于直线y=x对称的区域D'上的二重积分。也就是说，如果我们把D中的x和y互换，得到的区域D'和原来的区域D关于直线y=x对称，那么函数在这两个区域上的积分是相等的。
这些对称性定理的应用在于简化了二重积分的计算过程。对于一些具有对称性的函数或者区域，我们可以利用这些对称性定理将二重积分转化为在更小区域上的积分，甚至在某些情况下可以直接判断积分的结果为0，从而避免了繁琐的计算过程。例如，如果一个函数在一个关于原点对称的区域上积分，且该函数为奇函数，那么根据奇偶性对称定理，该二重积分的结果就直接为0，无需进行具体的计算。