二重积分的对称性定理有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

重积分的对称性定理有：

1、对于Dxy是关于y轴对称的区域，满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy。

2、如果Dxy是关于y=x对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y)，就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）。

3、如果Dxy是关于y=-x对称，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy。

二元重积分：

（1）质量：在质量的角度，二元重积分是建立在二维的角度，其函数z=f(x,y)其实描述的，是一个二维平面，某一个点的密度。

         注意：这里的密度，指的是质量除以二维的面积。

         所以，我们大概想象一下可以知道，在二维平面上，密度乘以面积，就等于总的质量，而dxdy积起来，其实就是把整个二维平面的面积积起来，再乘以对应的密度，就等于整块质量了。

         又或者说，函数z=f(x,y)表示某一点的密度，这一点乘以dxdy，就等于这一个点的质量，把所有点全部积起来，就等于整个二维平面的质量。

（2）体积：在体积的角度，二元重积分是建立在三维的角度，其函数描述的是在某一点处有多高，而dxdy描述的是底面积，所以，高乘以底面积，就等于某一点的体积，所以把全部体积积起来，就等于整个体积。