第01讲：行图像与列图像的几何解读—线性代数的直观探索
线性代数的核心议题在于理解多元一次方程组，以二元为例：
当方程组以矩阵形式呈现：
Ax = b
其中，矩阵A，即系数矩阵，承载着每个方程的权重系数，而未知数向量x和常数向量b，分别代表了线性系统中的变量和目标值。这个简单的公式背后，隐藏着丰富的几何含义。
每个线性方程在二维平面上描绘出一条直线，通过找到至少两个满足方程的解点，我们可以构造出这条直线。如二元方程组的解（x=1, y=2），在x-y平面上就形成了交点，这就是方程组的几何解。行图像如同一个几何画板，展示了方程组中每一行方程如何在空间中交织。
在列图像中，我们转换视角，将矩阵A视为列向量的集合。寻找解的过程变成了寻找这些列向量的线性组合，以生成向量b。想象一下，每一个可能的x和y值对应于一个独特的列向量组合，它们在三维空间中形成了一个分布，只有当所有可能的组合能够覆盖整个空间时，才意味着对于所有b，Ax=b都有解。
如果矩阵A的列向量不是线性无关的，意味着它们没有足够的自由度去覆盖整个空间，那么并非所有b都能找到对应的解。比如，当一个列向量可以由其他列向量线性表示，如“列3 = 列1 + 列2”，那么对于某些b值，可能没有解。这种情况下的矩阵被称为奇异矩阵或不可逆矩阵。
在三维空间中，行图像揭示了方程组解的性质。三个平面的交点、平行情况或共享的交线，都决定了方程组的解的丰富性。当三个平面相交于一点，方程有唯一解；若至少两个平面平行，说明无解；而当交线互相平行，意味着无穷多解。
从列图像的角度，矩阵A与向量x的乘积Ax，实质上是矩阵A中每个列向量与x向量的线性组合。无论是通过列向量的组合，还是行向量与x的点积，都揭示了矩阵运算如何映射向量空间。
总结，行图像与列图像，这两个视角的对比，揭示了线性代数中方程组解的几何本质，以及矩阵与向量操作的直观呈现，让我们对这个看似抽象的数学领域有了更深的理解。在后续的探索中，我们将继续深入挖掘线性代数的更多奥秘。