如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点

Question

1）求证：FB＝FD；（2）求证：CA′∥BD：（3）求△DBF的面积

Answer 1

（1）根据折叠，A′B=AB=CD
∠A′FB=∠CFD，∠FA′B=∠FCD=90
所以△A′FB≌△CFD，FB=FD
（2）根据（1）中结论，A′F=CF，所以∠FA′C=∠FCA′=（180-∠A′FC）/2
∠FBD=∠FDB=（180-∠BFD）/2
因为∠BFD=∠A′FC，所以∠FBD=∠FCA′
因此A′C∥BD
（3）从F作FH⊥BD于H，
因为BF=DF，所以BH=DH
∠FDH=∠BDA′，∠FHD=∠BA′D
所以△FHD∽△BA′D，FH：A′B=DF：BD
RT△ABD中，AB=6，AD=8，所以BD=10
设DF为X，则BF=X，CF=8-X
RT△CDF中，CD²+CF²=DF²
6²+（8-X）²=X²
X²-16X+100=X²
X=25/4
所以FH：6=25/4：10
10FH=75/2
FH=15/4
S△DBF=1/2×BD×FH=75/4

Answer 2

1, ad平行bc => <adb=<dbc
ad和a'd关于bd对称 =><adb=<a'db
<dbc=<a'db => fb=fd

2 bd=bd <dbc=<a'db <dcb=<da'b=90 所以三角形BDC与三角形DBA'全等
所以a'd=bc 因为bf=fd 所以a'f=cf
<a'cf=(180-<a'fc)/2=(180-<bfd)/2=<fbd =>a'c平行bd

3 过点作BD垂线，交BD于G
由于三角形BDF是等腰三角形，所以G是bd中点
易证三角形BFG相似三角形BDC,所以BF/BD=BG/BC=GF/CD
所以GF=BG/BC*CD=(10/2)/8*6=15/4
S=10*(15/4)/2=75/4

Answer 3

证明：
（1）根据题意由对称性得到∠ADB=∠A'DB，且∠ADB=∠CBD，所以∠CBD=∠A'DB，即FD=FD
（2）因为AD=BC，且AD=A'D，所以A'D=BC，且∠A'BD+∠A'DB=∠ABD+∠CBD=90，所以
∠A'BD=∠ABD=∠CDB，故四边形A'BDC是等腰梯形，那么A'C//BD
解（3）设CF=x，则DF=BF=8-x，那么在三角形CFD中存在数量关系：DF^2=CF^2+CD^2，代入具体数值为(8-x)^2=x^2+36，解得x=7/4，那么BF=25/4，故S△DBF=1/2x25/4x6=75/4