高数题目：函数的极限，请问答案是什么？

Question

如题所述

Answer 1

imx趋向于0[1/ln(x+1)-1/x]的值为1/2。

解：lim(x→0)(1/ln(x+1)-1/x)

=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*ln(1+x)))

=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*x))          （当x→0时，ln(1+x)等价于x）

=lim(x→0)((1-1/(1+x))/(2x))           （洛必达法则，同时对分子分母求导）

=lim(x→0)(x/(1+x))/(2x))

=lim(x→0)(1/(2*(1+x)))

=1/2

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

注意事项

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

⑴ 在着手求极限以前，首先要检查是否满足型构型，否则滥用洛必达法则会出错（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

⑶ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

⑷ 洛必达法则常用于求不定式极限。