导函数两个在一点的两个单侧极限存在且不等，等否推出原函数在那一点不可导？不能请举个反例，可以请证明

Question

Miss丶小紫：你把导函数在一点的左右极限和它的原函数在那一点的左右导数混淆了，连导数的定义你都搞错，你自己补补高等数学吧。。

Answer 1

......
假设导函数在某点x0是你所说的情况,设导函数f(x),原函数F(x)
原函数F(x)=∫f(x)dx（假设可积，不可积原函数不存在当然在那一点不可导）
F'+(x0)=lim(Δx->0+)[F(x0+Δx)-F(x)]/Δx
=lim(Δx->0+)[∫(x0->x0+Δx)f(x')dx']/Δx (我把积分上下限写在积分号后的括号里)
既然lim(Δx->0+)f(x0+Δx)存在,记为I
则对任意小量ε，存在某个δ>0，使得0<Δx<δ时，
|f(x0+Δx)-I|<ε,
|F(x0+Δx)-F(x)-IΔx|
=|∫((x0->x0+Δx)f(x')dx'-∫(x0->x0+Δx)Idx'|
<=∫(x0->x0+Δx)|f(x')-I|dx'<εΔx
|[F(x0+Δx)-F(x)]/Δx-I|<ε
因此，根据ε-δ语言
F'(+)(x0)=I=lim(Δx->0+)f(x0+Δx)成立
综上可得，若原函数在该点附近存在，则其在该点的右导数存在且等于导函数在该点的右极限。同理可证,其在该点的左导数等于导函数在该点的左极限。
......

Answer 2

例如f(x)=|x|;在x=0处时，两个单侧极限都存在
在左侧时，f'(x)=(-x)'=-1;
在右侧时，f'(x)=(x)'=1;
所以，导函数两个在一点的两个单侧极限存在且不等，这样的函数是有的。
大学以后还会见到，处处连续但处处不可导的函数。

Answer 3

既然大学了,那就肯定知道必要条件吧.

如果B成立,那么B的必要条件一定成立.

同样,如果B的必要条件不成立,那么B肯定不成立.(逆否命题^^希望你还记得)

如图

Answer 4

不能。
y=|x|