求齐次线性方程组的一个基础解系以及通解

Question

如题所述

Answer 1

系数矩阵 A=

[1 1 1 1]

[2 1 3 5]

[1 -1 3 -2]

[3 1 5 6]

行初等变换为

[1 1 1 1]

[0 -1 1 3]

[0 -2 2 -3]

[0 -2 2 3]

行初等变换为

[1 1 1 1]

[0 1 -1 -3]

[0 0 0 -9]

[0 0 0 -3]

行初等变换为

[1 0 2 4]

[0 1 -1 -3]

[0 0 0 1]

[0 0 0 0]

同解方程变为

x1 +4x4=-2x3

x2-3x4=x3

x4=0

取 x3=1，得基础解系 (-2, 1, 1,0)^T

通解为 x=k(-2, 1, 1,0)^T

其中k为任意常数。

扩展资料：

当r=n时，原方程组仅有零解；

当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

字迹有些潦草，见谅

Answer 3