叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。
混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 反交换律：
a×b= - b×a
加法的分配律：
a× (b+c) =a×b+a×c
与标量乘法兼容：
(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
不满足结合律，但满足雅可比恒等式：
a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
两个非零向量 a 和b 平行，当且仅当a×b=0 这是一个著名的公式，而且非常有用：
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
证明过程如下：
可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是：
这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j=k；
j×k=i ；
k×i=j ；
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
则
a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]
上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。 七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性：
x × (ay + bz) = ax × y + bx ×z
(ay + bz) ×x = ay × x + bz × x.
反交换律：
x × y + y ×x = 0
同时与 x 和 y 垂直：
x · (x ×y) =y · (x ×y) = 0
拉格朗日恒等式
|x × y|² = |x|² |y|² - (x ·y)².
不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：
x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x ×y) ≠ 0
几何意义及其运用
叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。
2.代数规则
反交换律：a×b= -b×a
加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。
3.拉格朗日公式
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b)
4.矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j=k；
j×k=i ；
k×i=j ；
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；
则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
5.高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；
反交换律：x×y+y×x= 0；
同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；
拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；
不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
在应用方面：
在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点)，就可依靠叉积求得法线。
参考资料
课程教材研究所.人教版高中数学必修4.北京：人民教育出版社，2007
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