∫ xcos²x dx另种做法

Question

:∫ xcos²x dx中，若我先将x凑进去变成∫ cos²x d(x²/2)，然后分部积分到第一步为

=(x²/2)*cos²x-∫-(x²/2)2cosxsinx dx

=(x²/2)*cos²x-∫-(x²/2)sin2xdx

=(x²/2)*cos²x-∫(x²/2)d[(cos2x)/2]

=(x²/2)*cos²x-(x²/2)*[(cos2x)/2]+∫(2cos²x-1)*xdx

做到这一步，得到循环式∫ xcos²x dx，但发现等号前后∫ xcos²x dx符号一样，系数一样，完全消掉等于零。我哪里做错了？？

Answer 1

对同一个东西用两次分部积分当然会这样……

分部积分是用来降次的，不是用来这样颠过来倒过去的

完全消掉等于0，等式成立，一点错误都没有，只是解不了题而已。错在对x积分

本来有一个一次的x，为了把它降成0次所以才分部积分

追问

谢谢，听你这么一说，懂一点道理了。