一个数集的上确界存在，那么它必定唯一 请问怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

根据确界定理可知，有界数集必有确界，以上确界为例，用反证法证明：

假设有两个上确界a，b,且a<b.

a为上确界，则数集中的数显然≤a，

所以e=(b-a)/2>0,

取数集中任何数x，

x+e<=(a+b)/2<b，

显然与b为上确界矛盾.

所以得证一个数集的上确界存在，那么它必定唯一。

上确界是序理论中最基础的概念之一。

给定偏序集(S, ≤)，A是S的子集，则A的上确界（亦称最小上界）supA定义为满足以下条件的元素：

Ⅰ.supA∈S

Ⅱ.∀a∈A ⇒ a ≤ supA

Ⅲ.∀a∈S，若a满足∀b∈A ⇒ b ≤ a，则supA≤ a。

即：supA是A的所有上界组成的集合的最小元（若存在）。

A的上确界亦被记为sup(A)，lubA，LubA或∨A。

上确界在序理论中的对偶概念是下确界。

并非所有的A都能找到上确界。

参考资料

百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%8A%E7%A1%AE%E7%95%8C/10505121?fr=aladdin

Answer 2

首先由确界定理，有界数集必有确界，以上确界为例，用反证法，
设有两个上确界a，b,且a<b
由于a为上确界，则数集中的数显然都要小于等于a,从而对于e=(b-a)/2>0,
取数集中任何x，x+e<=(a+b)/2<b
这与b为上确界矛盾
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Answer 3