求证:如果函数f(x)的定义域关于原点对称,那么f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
证明如下:
设g(x)为一奇函数,h(x)为一偶函数
g(x)=-g(-x)
h(x)=h(-x)
令g(x)+h(x)=f(x)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
跟上面的相加2h(x)=f(x)+f(-x)
所以h(x)={f(x)+f(-x)}/2
把h(x)代入g(x)+h(x)=f(x)
可求g(x)={f(x)-f(-x)}/2
f(x)={f(x)-f(-x)}/2+{f(x)+f(-x)}/2
=g(x)+h(x)
f(x)=(f(x)+f(-x))/2+(F(X)-F(-X))/2设g(x)={f(x)-f(-x)}/2h(x)
={f(x)+f(-x)}/2g(-x)
={f(-x)-f(x)}/2
=-g(x)则g(x)是奇函数。
扩展资料
求函数定义域的常用方法有:
1、根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等;
2、根据实际问题的要求确定自变量的范围;
3、根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。
本回答被网友采纳