数分难题 用上下极限做

Question

设数列xn有界 Lim(X2n+2Xn)=A 求证{xn}收敛并求极 最好用上下极限的知识解答

Answer 1

想了好一会了,大致是这样的,字母我不会打,你看看哪里不对:
数列xn有界,说明存在上极限和下极限,记limsup{xn},liminf{xn}.因为在度量空间,收敛序列就是Cauchy序列,所以任取s>0,存在n,m>N时
|x2n+xn-x2m-xm|<s
x2n是xn的子序列,存在不等式limsup{x2n}小于等于limsup{xn},liminf{xn}小于等于liminf{x2n};
所以固定n对m取下极限,在对n取上极限,就得到
limsup{xn}=liminf{xn},所以极限存在(实数的完备性).再根据收敛序列的任意子序列收敛,对你给的式子直接去极限就行了,A/3吧

Answer 2

若{x_n}的上极限是U，下极限是L，则U和L都是有限数。
取{x_n}的收敛子列{a_n}和{b_n}使得
lim a_n = U, lim b_n = L,
于是
lim (a_2n+2a_n)=3U=A，
lim (b_2n+2b_n)=3L=A，
从而U=L=A/3，即{x_n}收敛到A/3。

楼上的做法基本正确，只是要注意细节，比如一般的度量空间中收敛序列和Cauchy序列不一定等价。