线性代数 第三题具体步骤

Question

如题所述

Answer 1

记3个特解为g1，g2，g3。
因为非齐次方程两个特解的差是对应的齐次方程的解，
所以（g1+g2）-（g2+g3）=(-1，0，-2，-1)=g1-g3是对应的齐次方程的解，记为§1。
同理（g2+g3）-（g3+g1）=(1，1，0，0)=g2-g1是对应的齐次方程的解，记为§2。
因为r(A)=2，所以对应的齐次方程的基础解系含有两个无关的解向量，
而§1与§2线性无关，所以§1，§2就是基础解系。
又因为g2=(2,1,1,0)-g1，
g3=(2,0,3,1)-g1，
所以2g1=(4,1,4,1)-（g2+g3）=(1,0,1,0)，
所以g1=(1/2,0,1/2,0)。
于是得到非齐次方程的通解X=k1*§1+k2*§2+g1。

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 3

考傻了追问

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