设â(x+2)=tï¼åx=(t^2-2),ä»£å ¥å¾ï¼
â«xâ(x+2)dx
=â«t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2â«t^2*(t^2-2)dt,
=2â«(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
â«xâ(2x^2+1)^3dx
=(1/2)â«â(2x^2+1)^3dx^2
=(1/4)â«â(2x^2+1)^3d2x^2
=(1/4)â«(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)
=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
â«x^4 (lnx)^2dx
=(1/5)â«(lnx)^2dx^a11ï¼ä»¥ä¸ç¬¬ä¸æ¬¡ä½¿ç¨åé¨ç§¯åæ³ï¼
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)â«x^5d(lnx)^2
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)â«x^5*lnx*(1/x)dx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)â«x^4*lnxdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)â«lnxdx^5,
以ä¸ç¬¬äºæ¬¡ä½¿ç¨åé¨ç§¯åæ³ï¼
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)â«x^5dlnx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)â«x^5*1/xdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)â«x^adx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c
=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c
=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.
â«(10x^2+x+1)lnxdx
=â«lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对å¹å½æ°é¨åè¿è¡ååï¼
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-â«(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-â«(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-â«(10x^2/3+x/2+1)dx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+Cã
设F(x)æ¯å½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°ï¼æ们æå½æ°f(x)çææåå½æ°F(x)+ C(å ¶ä¸ï¼C为任æ常æ°ï¼å«åå½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åï¼åå«åå½æ°f(x)çå导æ°ï¼è®°ä½â«f(x)dxæè â«fï¼é«ç微积åä¸å¸¸çå»dxï¼ï¼å³â«f(x)dx=F(x)+Cã
å ¶ä¸â«å«å积åå·ï¼f(x)å«å被积å½æ°ï¼xå«å积ååéï¼f(x)dxå«å被积å¼ï¼Cå«å积å常æ°æ积å常éï¼æ±å·²ç¥å½æ°çä¸å®ç§¯åçè¿ç¨å«å对è¿ä¸ªå½æ°è¿è¡ä¸å®ç§¯åã
æ±å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åï¼å°±æ¯è¦æ±åºf(x)çææçåå½æ°ï¼ç±åå½æ°çæ§è´¨å¯ç¥ï¼åªè¦æ±åºå½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°ï¼åå ä¸ä»»æç常æ°Cå°±å¾å°å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯åã
ä¸å®ç§¯åç主è¦è®¡ç®æ¹æ³æ:ååæ³ãå ¬å¼æ³ã第ä¸ç±»æ¢å æ³ã第äºç±»æ¢å æ³ãåé¨ç§¯åæ³åæ³°åå ¬å¼å±å¼è¿ä¼¼æ³çã
具体解答过程:
=∫(sinx)^4dx
=∫(1-cos²x)²dx 【利用公式cos²x+sin²x=1】
=∫(1 - cos2x)/2)^2dx 【利用公式cos²x=(cos2x+1)/2】=∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx
=∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx 【利用cos²2x=(cos4x+1)/2】
=∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx
=(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分(11张)
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
扩展资料
在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数 F ,即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
参考资料:不定积分的百度百科