如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作 轴

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作 轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，小题1:分别求直线AB和这条抛物线的解析式（4分）小题2:若点P在第四象限，连结BM、AM，当线段PM最长时，求 的面积。（4分）③ 小题3:是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由（3分）。

Answer 1

小题1:把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x 2 +mx+n，得 解得 ， 所以抛物线的解析式是y=x 2 ﹣2x﹣3． 设直线AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得 ， 解得 ， 所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（4分） 小题2:设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t 2 ﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t 2 ﹣2t﹣3）=﹣t 2 +3t， 当t=﹣ = 时，二次函数的最大值，即PM最长值为 = ， 则S △ ABM =S △ BPM +S △ APM = = ．（4分） 小题3:存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t 2 ﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t 1 = ，t 2 = （舍去），所以P点的横坐标是 ； ③当P在第三象限：PM=OB=3，t 2 ﹣3t=3，解得t 1 = （舍去），t 2 = ，所以P点的横坐标是 ． 所以P点的横坐标是 或 ．

（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x 2 +mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t 2 ﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t 2 ﹣2t﹣3）=﹣t 2 +3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S △ ABM =S △ BPM +S △ APM 计算即可； （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t 2 ﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t 2 ﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．