（2014?郓城县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0）

Question

（2014?郓城县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴

9a?3b+c＝0 c＝3 a+b+c＝0

，
解得

a＝?1 b＝?2 c＝3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°．
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PE越大，△PDE的周长越大．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

?3k+b＝0 b＝3

，解得

k＝1 b＝3

，
即直线AB的解析式为y=x+3．
设P点的坐标为（x，-x²-2x+3），E点的坐标为（x，x+3），
则PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
所以当x=-

3

2

时，PE最大，△PDE的周长也最大．
当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
即点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）时，△PDE的周长最大．