高数泰勒公式问题

Question

画蓝框那里 由泰勒公式 应该三阶导数处是[f'''(0)/3!]*x^3才对呢吧？η是哪里跑出来的？而且η为什么介于0和x之间？？这是什么定理啊 完全看不懂。
画粉框那里的η1和η2为什么是介于-1和0,0和1之间呢？而且f'''(η1)/3!之前成了负号，所以η1才推出来是-1的？

Answer 1

1、画蓝框那里 由泰勒公式 应该三阶导数处是[f'''(0)/3!]*x^3才对呢吧？η是哪里跑出来的？η为什么介于0和x之间？这是什么定理啊？

这才是完整的泰勒定理，请先仔细看一下你们书上泰勒公式的定义。例如下图式子：

要使等号成立，最后得带上余项Rn(x)，你画的框框正是二阶展开后的余项的表达式。更一般的情况是：

两个式子中：

其中θ满足：a<θ<x，也就是你的问题中的η的范围。

2、画粉框那里的η1和η2为什么是介于-1和0,0和1之间呢？

类比1的描述，式中的a=0，如果取x=-1，那么η在a与x之间即-1<η<0；取x=1也是一样的道理。

3、而且f'''(η1)/3!之前成了负号，所以η1才推出来是-1的？

你把x=-1带进式子去，x^3自然得到-1，也就是余项前的负号。

追问

谢谢大神！

来自：求助得到的回答