对于单摆运动，其周期T=2π√（L/g）这个公式是如何得到的?

Question

如题所述

Answer 1

设夹角a
线长l
拉力T
角速度w
T-mgCOSa=w^2*l
(1)
mgSINa=-mdv/dt
(2)
v=da/dt*l(3)
有2
3
式得
gSINa/l=-d^2a/dt^2
a很小时sin(a)=a
g*a/l+d^2a/dt^2=0
这是最简单的常微分方程式
特征根是
A=(g/l)
i
w^2=g/l
所以解a=a0cos(wt+b)
周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2
严密的：gsin(a)/l=-d^2a/dt^2
开始不做近似
两边乘以da/dt
再积分（和证明能量守恒一样）
(da/dt)^2=2g/l
*COSa+C
当a=0时如果da/dt=w0
那么C=w0^2-2g/l
(da/dt)^2=4g/l
*(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
设lw0^2/4g=k^2
带入
dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
设SINa/2=ku
在带入
dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
然后利用椭圆积分
得到
k<1
T=2TT(l/g)^1/2*(1+1/16*l/g*w0^2)
k>1
T=TT/k*(l/g)^1/2*无穷级数(（2n-1)!!/(2n)!!(1/k)^n)^2
TT是派