设函数y=f(x)是严格单调的三阶可导函数,而且f'(x)≠0,求(f^-1)^...

Question

设函数y=f(x)是严格单调的三阶可导函数,而且f'(x)≠0,求(f^-1)^(3)(y)（即f(x)的反函数的三阶导数）. 好像是数学分析第一册习题四的最后一题.只有答案（(f^-1)^(3)(y)={-f'''(x)/[f'(x)]^4}+{3(f''(x))^2/[f'(x)]^5}）,

Answer 1

首先：(f^-1)^(1)(y)=1/f'
(这没问题吧,约定f=f(x))
得：　(f^-1)^(2)(y)=d((f^-1)^(1)(y))/dy
=d((f^-1)^(1)(y))/dx*1/f'
=1/f'*d(1/f')/dx
=1/f'*(-f''/(f')^2)
=-f''/(f')^3；
得：　(f^-1)^(3)(y)=d((f^-1)^(2)(y))/dy
=d((f^-1)^(2)(y))/dx*1/f'
=1/f'*d(-f''/(f')^3)dx
={-f'''(x)/[f'(x)]^4}+{3(f''(x))^2/[f'(x)]^5}