正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°。
连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°。
设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)。
五边形
在平面几何学上指所有由五条边围衬成及有五只角的多边形。完美五边形和正五边形都是五边形的一种特殊类型。
正五边形，是正多边形的一种，有将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ = (√5-1)/2）有关的长度。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2010-04-16
方法一：
正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°
连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°
设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)
下面给出sin36°的求法：
由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°
＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]
由此得到 8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0
(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0
由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出
cos36°＝(1＋√5)/4,
sin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)/4.
所以r＝a/(2sin36°)＝a/[2√(10－2√5)/4]＝2a/√(10－2√5)
＝(√(50＋10√5)a/10
方法二：
正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°
连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°
设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)
下面给出sin36°的求法：
由于sin36°＝sin(180°＝36°)＝sin144°＝2sin72°cos72°
＝4sin36°cos36°[2(cos36°)^2－1]
由此得到 8(cos36°)^3－4cos36°－1＝0
(2cos36°＋1)[4(cos36°)^2－2cos36°－1]＝0
由4(cos36°)^2－2cos36°－1＝0解出
cos36°＝(1＋√5)/4,
sin36°＝√[1－(cos36°)^2]＝√(10－2√5)/4.
所以r＝a/(2sin36°)＝a/[2√(10－2√5)/4]＝2a/√(10－2√5)
＝(√(50＋10√5)a/10
方法二：
相似回答