什么是半正定矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

半正定矩阵是一种特殊的实对称矩阵，它对于任意非零实列向量X，都有X'AX大于等于0的性质。
半正定矩阵是正定矩阵概念的推广。如果一个实对称矩阵的所有特征值都非负，那么这个矩阵就是半正定的。在数学上，半正定矩阵与二次函数、协方差矩阵等概念有着密切的联系。它们在机器学习和统计学习中尤为重要，因为在这些领域中，矩阵的正定性或半正定性通常与数据的稳定性、优化问题的存在性以及模型的泛化能力等关键性质有关。
具体来说，半正定矩阵的定义是：对于一个n×n的实对称矩阵A，如果对于所有非零实列向量X，二次型X'AX（即向量X与A相乘后的结果再与X做内积）都是非负的，那么矩阵A就是半正定的。这与正定矩阵不同，后者要求对于所有非零实列向量X，二次型X'AX都是正的。
此外，半正定矩阵的特征值都是非负的，这是判断一个矩阵是否为半正定的重要条件。在几何上，半正定矩阵保证了变换后的向量与原向量的夹角不会大于90度。这意味着半正定矩阵不会使任何非零向量翻转方向，但允许向量保持不变或者变得更长。
总的来说，了解和判别半正定矩阵对于解决实际问题具有重要意义，特别是在需要确保某些数学性质成立的情况下，例如在优化问题中保证解的存在性和唯一性。

Answer 2

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。