如果函数f（x） 的n＋1阶导数在N（x0） 上有界M，表明Rn（x）＝o（（x－x0）＾n） ，另外也可证明对固定的x ，当n→∞时，Rn（x）→0 ，即，要想使f（x）与Pn（x） 误差减小，则可将｜x－x0｜ 取小，也可将n 取大。
在n阶泰勒公式中，x0＝0 ，从而可得：f（x）＝f（0）＋f＇（0）（x）＋f＇＇（0）（x）＾2／2！＋．．．＋f（n）＇（0）（x）＾n／n！＋Rn（x）。
此时该式称为函数f（x） 在x=0 处的n 阶泰勒公式，也称作f（x）的n 阶麦克劳林（Maclaurin）公式，其余项常写为o（x＾n）或者o（（x－x0）＾n）形式，表示的余项叫作皮亚诺（Peano）余项。
扩展资料：
泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项。
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。