极大线性无关组(maximal linearly independent system)是线性空间的基对向量集的推广。其定义为:设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组,如果满足(1) α1,α2,...αr 线性无关;(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示,那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。
基本性质:
(1)只含零向量的向量组没有极大无关组;
(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
(3)极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一,但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量;
(4)齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。
(5)任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
(6)一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
(7)若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出,则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。
扩展资料:
相关定理:
极大线性无关组定理 1:
设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果
(1)向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出。
(2)r>s;
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。
极大线性无关组定理 2:
一向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。
极大线性无关组定理 3:
一向量组线性无关的充分必要条件是,它的秩与它所含向量的个数相同。
极大线性无关组推论 1:
如果向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,且a1,a2,…,ar线性无关,那么r≤s。
极大线性无关组推论 2:
任意n+1个n维向量必线性相关。
极大线性无关组推论 3:
两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量。
极大线性无关组推论 4:
等价的向量组必有相同的秩。