证明当x＞0时，x–x^3/6＜sinx＜x

Question

如题所述

Answer 1

先证右边
设f(x)=sinx-x
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1≤0
∴f(x)递减，
∴x＞0时，f(x)＜f(0)=0
∴sinx＜x

再证左边
设g(x)=sinx-x+x^3/6
则g(0)=0
g'(x)=cosx-1+x^2/2
g'(0)=0
g''(x)=-sinx+x
由前面的结果，
x＞0时，g''(x)=-sinx+x＞0
∴g'(x)递增，
∴x＞0时，g'(x)＞g'(0)=0
∴g(x)递增，
∴x＞0时，g(x)＞g(0)=0
∴sinx＞x-x^3/6