利用幂函数的性质求和函数

Question

利用幂函数的性质求和函数qwq

Answer 1

解：(1)小题，原式=S(x)=∑[(-1)^(n-1)](1/n)x^n，n=1,2……，∞。两边对x求导，有S'(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)。
∴丨x丨<1时，S'(x)=1/(1+x)。两边对x积分，∴S(x)=ln(x+1)+C。而x=0时，S(0)=0；另外，x=1时，级数亦收敛，∴x∈(-1,1]时，原式=ln(1+x)。
(3)小题，原式=S(x)=∑[(-1)^n](n+1)x^n，n=0,1,2……，∞。两边对x积分，有∫S(x)dx=∑[(-1)^n]∫(n+1)x^ndx=∑[(-1)^n]x^(n+1)+C。
∴丨x丨<1时，∑[(-1)^n]x^(n+1)=x/(1+x)。两边对x求导，∴S(x)=1/(x+1)²。
(4)小题，原式=S(x)=∑nx^(n+1)，n=1,2,……，∞。∴S(x)=(x²)∑nx^(n-1)。而，∑nx^(n-1)=[∑x^n]'。又，丨x丨<1时，∑x^n=x/(1-x)，∴原式=S(x)=(x²)[x/(1-x)]'=x²/(1-x)²。
供参考。追问

hhh我已经自己做出来啦 不过感谢您打了那么多字

Answer 2

对下答案，看对不对