解:(1)小题,原式=S(x)=∑[(-1)^(n-1)](1/n)x^n,n=1,2……,∞。两边对x求导,有S'(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)。
∴丨x丨<1时,S'(x)=1/(1+x)。两边对x积分,∴S(x)=ln(x+1)+C。而x=0时,S(0)=0;另外,x=1时,级数亦收敛,∴x∈(-1,1]时,原式=ln(1+x)。
(3)小题,原式=S(x)=∑[(-1)^n](n+1)x^n,n=0,1,2……,∞。两边对x积分,有∫S(x)dx=∑[(-1)^n]∫(n+1)x^ndx=∑[(-1)^n]x^(n+1)+C。
∴丨x丨<1时,∑[(-1)^n]x^(n+1)=x/(1+x)。两边对x求导,∴S(x)=1/(x+1)²。
(4)小题,原式=S(x)=∑nx^(n+1),n=1,2,……,∞。∴S(x)=(x²)∑nx^(n-1)。而,∑nx^(n-1)=[∑x^n]'。又,丨x丨<1时,∑x^n=x/(1-x),∴原式=S(x)=(x²)[x/(1-x)]'=x²/(1-x)²。
供参考。
追问hhh我已经自己做出来啦 不过感谢您打了那么多字