怎么用洛必法则解决高考参数恒成立问题

Question

我知道高考不能用，可至少能得出结果，逆推过程吧，我想学学看

Answer 1

近年来的高考数学试题逐步做到科学化 、 规范化 ， 坚持了稳中求改 、 稳 中创新的原则 ， 充分发挥数学作为基础学科 的作用 ，既重视考查 中学数学基础知 识的掌握程度 ， 又注重考查进入高校继续学习 的潜能。 为此 ， 高考数学试题常与大学数学知 识有机接轨 ， 以高等数学为背景 的命题形式成为了热点。 例如导数应用问题是许多省市的高考试卷的压轴题 ， 并且求参数的取值范围是这类重点 考查的题型。 这类题 目容易 让学生想到用 分离参数法 ， 一部分题用 这种 方法很奏效 ， 另 一部分题在高中范围 内用分离参数的方法却 不能顺利解决 ， 高中阶段解决它 只有华山一条路——分类讨 论 和假 设反 证 的方 法 。

参考文献：http://www.cqvip.com/main/export.aspx?id=45309780&sign=710e78556264313dd40362f4da3bbf3f

Answer 2

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim0xa fx 及lim0xa gx； (2)在点a
的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) 
 lim xafxlgx， 那么 
 lim xa fxgx= 
 lim xa fxlgx。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)lim0xfx  及lim0xgx ； (2)0A，f(x) 和g(x)在,A与,A上可导，且g'(x)≠0； (3) 
 lim xfxlgx ， 那么  
limxfxgx= 
 lim xfxlgx。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limxa fx及limxa gx； (2)在点a
的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3) 
 lim xafxlgx， 那么 
 lim xa fxgx= 
 lim xa fxlgx。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa  ，xa   洛必达法则也 成立。 ○ 2
洛必达法则可处理00
， ，0，1 ，0，00，型。 ○ 3
在着手求极限以前，首先要检查是否满足00
， ，0，1 ，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这
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时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。 （1） 若0a，求()fx的单调区间； （2） 若当0x时()0fx，求a的取值范围 原解：（1）0a时，()1xfxex，'()1xfxe. 当(,0)x时，'()0fx；当(0,)x时，'()0fx.故()fx在(,0)单调减少，在(0,)单调增加 （II）'()12xfxeax 由（I）知1x ex，当且仅当0x时等号成立.故 '()2(12)fxxaxax， 从而当120a
，即1 2 a 时，'()0 (0)fxx，而(0)0f， 于是当0x时，()0fx. 由1(0)x exx可得1(0)x exx.
从而当1 2 a 时， '()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea， 故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx. 综合得a
的取值范围为1, 2 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II）当0x时，()0fx，对任意实数a,均在()0fx； 当0x时，()0fx
等价于2 1 x xae x  令 
2 1 x xgxe x  (x>0),
则 3 22 ()xx xxgxeex  ， 令 220x x hxxxxee，则1x x hxxee，0x hxxe，
知hx在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数， 00hxh；0gx，g(x)在0,上为增函数。
由洛必达法则知， 2 0001 1 22 2lim limlimx xx xxxxxe eex  ，
故1 2 a 综上，知a
的取值范围为1, 2  。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为 230xy。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x
时，ln()1xk fxxx  ，求k的取值范围。 原解：
（Ⅰ）22 1 ( ln) '()(1)xxbxfxxx  由于直线230xy
的斜率为12，且过点(1,1)
，故(1)1, 1'(1),2 ff 即
1, 1,22 bab 解得1a，1b。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1 f()1xxxx  ，所以
22 ln1(1)(1) ()()(2ln)11xkkxfxxxxxx 。 考虑函数()2lnhxx
2(1)(1)kxx(0)x
，则22(1)(1)2'()kxx hxx。 （i）设0k
，由22 2 (1)(1)'()kxxhxx 知，当1x时，'()0hx，h（x）递减。而(1)0h故当(0,1)x时， ()0hx
，可得 2 1 ()01hxx ；
当x（1，+）时，h（x）<0
，可得 211 x h（x）>0 从而当x>0,且x1时，f（x）-
（1lnxx
+xk）>0，即f（x）
>1lnxx
+x k . （ii）设0<k<1.由于2(1)(1)2kxx=2(1)21kxxk的图像开口向下，且 244(1)0k，对称轴
x= 1 11k. 当x（1
，k11）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故' h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1
，k11）时，h（x）>0，
可得2 11 x h（x）<0,与题设矛盾。 （iii）设k1.此时2 12xx，2 (1)(1)20kxx' h（x）>0,而h（1）=0， 故当x（1，+）时，h（x）>0
，可得 2 11 x h（x）<0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II）由题设可得，当0,1xx时，
k< 2 2ln11xx x恒成立。 令g
(x)= 2 2ln11xx x(0,1xx),则 
 22221ln121xxxgxx ， 再令 22 1ln1hxxxx(0,1xx)，则
1 2 lnhxxx x x ，
212ln1hxxx ，易知
 2 1 2ln1hxxx在0,上为增函数，且10h；故当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx； hx在0,1上为减函数，在1,上为增函数；故hx>1h=0 hx在0,上为增函数 1h=0 当(0,1)x时，0hx，当x（1，+）时，0hx 当(0,1)x时，0gx，当x（1，+）时，0gx gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数  由洛必达法则知 
2 1 1 1 ln1ln12121210221limlim limxxxxxxgxxx 
0k，即k的取值范围为（-，0] 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题 中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法追问

为什么lim x趋于0 e∧x/2=1/2?

追答

这题不用洛必达法则,因为当x→0时分母≠0,可以直接代入便可以求值
lim(x→0) [1-√(1-x²)]/(e²-cosx)
=[1-√(1-0)]/(e²-1)
=0/(e²-1)
=0

若改为这样则可以用洛必达法则:0/0形式
lim(x→0) [1-√(1-x²)]/(e^x-cosx)
=lim(x→0) -(-2x)1/[2√(1-x²)]/(e^x+sinx)
=lim(x→0) x/[(e^x+sinx)√(1-x²)]
=0/[(1+0)√(1-0)]
=0

Answer 3

0/0 或∞/∞型不定式极限, 用洛必达法则, 上下求导数
lim x->0 e^x=e^0=1 ( 指数幂)

lim x→0 （e∧x-x-1）/x∧2 (∵[e^0-0-1]/0^2=0/0,上下求导数)
=lim x→0 (e^x-1)/2x (∵[e^0-0-1]/0^2=0/0,上下再次求导数)
=lim x→0 e^x/2=1/2 (∵代入x值, e^0/2=1/2)
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E5%BF%85%E8%BE%BE%E6%B3%95%E5%88%99
http://baike.baidu.com/link?url=HQHyu45ny4r8tl-vwp32HUpugxA64mlHKvaMOJZ4euOdxgyMZ0jCckdYG1ZnjSvK追问

还一个问题！
lim x→1 ［（2xlnx）/（1-x∧2） 1］=？
为什么求导的时候1跑到lim前面了？

追答

1是一个常数,无关lim

lim x→1 ［（2xlnx）/（1-x∧2） 1］
=lim x->1[(2x(1/x)+2 lnx)/(-2x)] (ln(1)=0)

= -1

追问

又有个问题了～～～
已知函数f（x）=e∧x-ln（x加m）.
当m≤2时，证明f（x）＞0,
如果不分类讨论，能做出来么？

追答

给分后再回答你的问题

追问

好吧～～～

追答

泰勒级数展开,
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+... [x^2x+m>0] -------------(2)
ln(x+m)=1-1/(x+m)+(1/2)*[1-1/(x+m)*]^2+(1/3)*[1-1/(x+m)*]^3+... [x+m>1/2]----------(3)
e^0=1=ln(e)>ln(0+m) [e=2.7182>2≥m]
比较(1)和(2),比较(1)和(3)
e^x > ln（x+m）
f(x)>0

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Answer 4

没给出具体的题呀追问

2011，2012新课标理科第21题的第二小问就是了。。。能教教做类题的技巧么？

追答

我这里没有教材。高考已经过去了几年，呵呵。

追问

能教我怎么用洛必达么？是不是一直求导，那到最后该怎么做呢？

追答

如果上下均为不定式，就可以继续求导。比如对于x->无穷的情况，(x^2+6x)/(8x^2+9x),分子分母同时对x求导得(2x+6)/(16x+9)再求导得(2/16)即1/8；
对于x->无穷,(x+9)/(3x^2+6)上下均对x求导:1/(6x)。这时分子已不是不定式，不能再使用洛必达
法则，结果为0而不是1/6。
这些你大一时会学的，高中生若非兴趣，没必要掌握。

追问

lim x→0 （e∧x-x-1）/x∧2最后导到

lim x→0 （e∧x-x-1）/x∧2最后导到lim x→0 e∧x/2=0这时候也已是不定式，为何结果为1/2？