用幂函数表示函数的等价无穷小量 如图 五角星

Question

如题所述

Answer 1

　　解：6题(2)小题，利用广义二项展开式，并无穷小量替换。
　　∵当x→0时，(1+x)^α~1+αx，设x=π/2-t，则t→0，sinx=cost~1-(1/2)t^2，∴1-(sinx)^(α+β)=1-(cost)^(α+β)~1-[1-(1/2)t^2]^(α+β)~[(α+β)/2]t^2，
　　同理，1-(sinx)^α~(α/2)t^2，1-(sinx)^β~(β/2)t^2，
　　∴原式=lim(t→0){[(α+β)/2]t^2}/[(αβ/4)t^4]^(1/2)=(α+β)/(αβ)^(1/2)。
　　7题，(3)小题，用广义二项展开式，(1+x)^α~1+αx+[α(α-1)/2]x^2，
　　∴(1+2x)^(1/2)-(1+3x)^(1/3)~1+x-(1/8)x^2-[1+x-(1/9)x^2]=(-1/72)x^2。
　　(5)题，∵sinx~x，∴(xsinx)^(1/2)~x。
　　(6)题，仿(3)小题，有(1+tanx)^(1/2)-(1+sinx)^(1/2)~1+(1/2)tanx-[1+(1/2)sinx]=(1/2)(tanx-sinx)，
　　而tanx~x+(1/3)x^3，sinx~x-(1/6)x^3，∴(1+tanx)^(1/2)-(1+sinx)^(1/2)~(1/4)x^3。
　　供参考。追问

等价无穷小不是不能直接在加减法里面用吗

因为精度可能会不够