解:
∵F(x)= f(x) + 1/f(x)
∴若令f(x) = t, 则F(t) = t + 1/t (0.5 < t >3);
此时原问题就转化为 F(t) = t + 1/t 当t∈[0.5,3]时的值域了
对于 F(t) = t + 1/t 我们可以通过求一阶导数把它的单调区间求出来:
因为 F′(t)= 1 - 1 / t ^2,通过令其大于0 我们可以得到当|t|≥1时,
F′(t)≥0,这也是F(t) = t + 1/t的单调递增区间,同理当|t|<1,且t≠0时,F(t)单调递减 (这一块我的说法不太准确) ,所以当0.5 < t >3时,跨越了一个递减区间 [0.5,1]和 一个递增区间[1,3]。
∴ 显然F(t)在 t=1 时 取得了一个最小值, 即F(t)= 2;
在 [0.5,1]上递减 ,在[1,3] 上递增 ,所以判定最大值时 只需要比较F(0.5) 和F(3)的大小, 显然F(3)= 10/3 最大 ,
所以原问题的值域就是[2,10/3]!
下面是我画的一个草图 你看看
对了,我要补充一下! 也许你会有疑问,为什么我判定了最小值与最大值以后,就确定值域就是这两个数之间呢? 其实这有赖于函数的连续性, 说简单一点,就是F(t) = t + 1/t 当t∈[0.5,3]时,是一条连绵不断的曲线,你看看图像就会形象的明白,在2 到10/3 之间的所有值,函数F(t)都可以取到!
不罗嗦了 呵呵